Следующие работы: -
DELETE FROM MySingleRowTable;
CREATE TABLE IF NOT EXISTS MySingleRowTable (someHeader PRIMARY KEY);
INSERT OR IGNORE INTO MySingleRowTable VALUES('aa');
SELECT * FROM MySingleRowTable;
UPDATE MySingleRowTable SET someHeader = 'bb' WHERE someHeader = 'aa';
SELECT * FROM MySingleRowTable;

Однако у вас есть: -
DELETE FROM MySingleRowTable;
CREATE TABLE IF NOT EXISTS MySingleRowTable (someHeader PRIMARY KEY);
INSERT OR IGNORE INTO MySingleRowTable VALUES('aa');
SELECT * FROM MySingleRowTable;
UPDATE MySingleRowTable SET 'someHeader' = 'bb' WHERE 'someHeader' = 'aa';
SELECT * FROM MySingleRowTable;

То есть у вас есть имена столбцов в одинарных кавычках, поэтому вы фактически говорите
- ОБНОВЛЕНИЕ только тогда, когда someHeader (текст)это аа это никогда не будет.
В отличие от высказывания
- ОБНОВЛЕНИЕ только тогда, когда содержимое столбца someHeader имеет значение aa .