<div id="my_id" class="my_class"></div>
если это первый div, тогда адресуйте его так:
document.write("div CSS class: " + document.getElementsByTagName('div')[0].className);
альтернативно сделайте это:
document.write("alternative way: " + document.getElementById('my_id').className);
Это дает следующие результаты:
div CSS class: my_class
alternative way: my_class