Есть две проблемы с вашим кодом:
1) document.querySelector
вернет только первый соответствующий элемент
2) событие click
не имеет возьмите функцию с такими аргументами.
Лучше код будет:
document.querySelectorAll('.button')
.forEach(btn =>
btn.addEventListener('click', () => document.body.style.background = btn.id)
);
(здесь я снова использую btn
вместо того, чтобы использовать данные из события, потому что я уже знаю, какую кнопку вы ударил, так что не нужно возиться с ev.target...