Как определить самую длинную возрастающую подпоследовательность с помощью динамического программирования?

Question

У меня есть набор целых чисел. Я хочу найти самую длинную возрастающую подпоследовательность этого набора, используя динамическое программирование.

Answer 1

ОК, сначала я опишу самое простое решение, которое O (N ^ 2), где N - размер коллекции. Также существует решение O (N log N), которое я также опишу. Посмотрите здесь для этого в разделе Эффективные алгоритмы.

Я предполагаю, что индексы массива находятся в диапазоне от 0 до N - 1. Итак, давайте определим DP[i] как длину LIS (самая длинная возрастающая подпоследовательность), которая заканчивается в элементе с индексом i. Чтобы вычислить DP[i], мы смотрим на все индексы j < i и проверяем оба значения, если DP[j] + 1 > DP[i] и array[j] < array[i] (мы хотим, чтобы оно увеличивалось). Если это правда, мы можем обновить текущий оптимум для DP[i]. Чтобы найти глобальный оптимум для массива, вы можете взять максимальное значение из DP[0...N - 1].

int maxLength = 1, bestEnd = 0;
DP[0] = 1;
prev[0] = -1;

for (int i = 1; i < N; i++)
{
   DP[i] = 1;
   prev[i] = -1;

   for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
      if (DP[j] + 1 > DP[i] && array[j] < array[i])
      {
         DP[i] = DP[j] + 1;
         prev[i] = j;
      }

   if (DP[i] > maxLength)
   {
      bestEnd = i;
      maxLength = DP[i];
   }
}

Я использую массив prev, чтобы позже можно было найти фактическую последовательность, а не только ее длину. Просто вернитесь рекурсивно из bestEnd в цикле, используя prev[bestEnd]. Значение -1 является знаком остановки.

---

Хорошо, теперь к более эффективному O(N log N) решению:

Пусть S[pos] определяется как наименьшее целое число, заканчивающееся возрастающей последовательностью длины pos. Теперь переберите каждое целое число X входного набора и сделайте следующее:

1. Если X> последний элемент в S, тогда добавьте X в конец S. Это существенно означает, что мы нашли новый крупнейший LIS.

2. В противном случае найдите наименьший элемент в S, который на >=, чем X, и измените его на X. Поскольку S сортируется в любое время, элемент можно найти с помощью двоичного поиска в log(N).

Общее время выполнения - N целых чисел и двоичный поиск для каждого из них - N * log (N) = O (N log N)

Теперь давайте сделаем реальный пример:

Коллекция целых чисел: 2 6 3 4 1 2 9 5 8

Шаги:

0. S = {} - Initialize S to the empty set
1. S = {2} - New largest LIS
2. S = {2, 6} - New largest LIS
3. S = {2, 3} - Changed 6 to 3
4. S = {2, 3, 4} - New largest LIS
5. S = {1, 3, 4} - Changed 2 to 1
6. S = {1, 2, 4} - Changed 3 to 2
7. S = {1, 2, 4, 9} - New largest LIS
8. S = {1, 2, 4, 5} - Changed 9 to 5
9. S = {1, 2, 4, 5, 8} - New largest LIS

Таким образом, длина LIS составляет 5 (размер S).

Для восстановления фактического LIS мы снова будем использовать родительский массив. Пусть parent[i] будет предшественником элемента с индексом i в LIS, заканчивающемся элементом с индексом i.

Чтобы упростить задачу, мы можем сохранить в массиве S не фактические целые числа, а их индексы (позиции) в наборе. Мы не держим {1, 2, 4, 5, 8}, но сохраняем {4, 5, 3, 7, 8}.

Это вход [4] = 1 , вход [5] = 2 , вход [3] = 4 , вход [7] = 5 , вход [8] = 8 .

Если мы правильно обновим родительский массив, фактическая LIS будет:

input[S[lastElementOfS]], 
input[parent[S[lastElementOfS]]],
input[parent[parent[S[lastElementOfS]]]],
........................................

Теперь самое важное - как обновить родительский массив? Есть два варианта:

1. Если X> последний элемент в S, то parent[indexX] = indexLastElement. Это означает, что родительский элемент нового элемента является последним элементом. Мы просто добавляем X к концу S.

2. В противном случае найдите индекс наименьшего элемента в S, который на >=, чем X, и измените его на X. Здесь parent[indexX] = S[index - 1].

Answer 2

Объяснения Петра Минчева помогли мне разобраться, но мне было сложно разобрать, что же все это было, поэтому я сделал реализацию Python с чрезмерно описательными именами переменных и множеством комментариев. Я сделал наивное рекурсивное решение, решение O (n ^ 2) и решение O (n log n).

Надеюсь, это поможет прояснить алгоритмы!

Рекурсивное решение

def recursive_solution(remaining_sequence, bigger_than=None):
    """Finds the longest increasing subsequence of remaining_sequence that is      
    bigger than bigger_than and returns it.  This solution is O(2^n)."""

    # Base case: nothing is remaining.                                             
    if len(remaining_sequence) == 0:
        return remaining_sequence

    # Recursive case 1: exclude the current element and process the remaining.     
    best_sequence = recursive_solution(remaining_sequence[1:], bigger_than)

    # Recursive case 2: include the current element if it's big enough.            
    first = remaining_sequence[0]

    if (first > bigger_than) or (bigger_than is None):

        sequence_with = [first] + recursive_solution(remaining_sequence[1:], first)

        # Choose whichever of case 1 and case 2 were longer.                         
        if len(sequence_with) >= len(best_sequence):
            best_sequence = sequence_with

    return best_sequence                                                        

Решение для динамического программирования O (n ^ 2)

def dynamic_programming_solution(sequence):
    """Finds the longest increasing subsequence in sequence using dynamic          
    programming.  This solution is O(n^2)."""

    longest_subsequence_ending_with = []
    backreference_for_subsequence_ending_with = []
    current_best_end = 0

    for curr_elem in range(len(sequence)):
        # It's always possible to have a subsequence of length 1.                    
        longest_subsequence_ending_with.append(1)

        # If a subsequence is length 1, it doesn't have a backreference.             
        backreference_for_subsequence_ending_with.append(None)

        for prev_elem in range(curr_elem):
            subsequence_length_through_prev = (longest_subsequence_ending_with[prev_elem] + 1)

            # If the prev_elem is smaller than the current elem (so it's increasing)   
            # And if the longest subsequence from prev_elem would yield a better       
            # subsequence for curr_elem.                                               
            if ((sequence[prev_elem] < sequence[curr_elem]) and
                    (subsequence_length_through_prev >
                         longest_subsequence_ending_with[curr_elem])):

                # Set the candidate best subsequence at curr_elem to go through prev.    
                longest_subsequence_ending_with[curr_elem] = (subsequence_length_through_prev)
                backreference_for_subsequence_ending_with[curr_elem] = prev_elem
                # If the new end is the best, update the best.    

        if (longest_subsequence_ending_with[curr_elem] >
                longest_subsequence_ending_with[current_best_end]):
            current_best_end = curr_elem
            # Output the overall best by following the backreferences.  

    best_subsequence = []
    current_backreference = current_best_end

    while current_backreference is not None:
        best_subsequence.append(sequence[current_backreference])
        current_backreference = (backreference_for_subsequence_ending_with[current_backreference])

    best_subsequence.reverse()

    return best_subsequence                                                   

Решение для динамического программирования O (n log n)

def find_smallest_elem_as_big_as(sequence, subsequence, elem):
    """Returns the index of the smallest element in subsequence as big as          
    sequence[elem].  sequence[elem] must not be larger than every element in       
    subsequence.  The elements in subsequence are indices in sequence.  Uses       
    binary search."""

    low = 0
    high = len(subsequence) - 1

    while high > low:
        mid = (high + low) / 2
        # If the current element is not as big as elem, throw out the low half of    
        # sequence.                                                                  
        if sequence[subsequence[mid]] < sequence[elem]:
            low = mid + 1
            # If the current element is as big as elem, throw out everything bigger, but 
        # keep the current element.                                                  
        else:
            high = mid

    return high


def optimized_dynamic_programming_solution(sequence):
    """Finds the longest increasing subsequence in sequence using dynamic          
    programming and binary search (per                                             
    http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence).  This solution   
    is O(n log n)."""

    # Both of these lists hold the indices of elements in sequence and not the        
    # elements themselves.                                                         
    # This list will always be sorted.                                             
    smallest_end_to_subsequence_of_length = []

    # This array goes along with sequence (not                                     
    # smallest_end_to_subsequence_of_length).  Following the corresponding element 
    # in this array repeatedly will generate the desired subsequence.              
    parent = [None for _ in sequence]

    for elem in range(len(sequence)):
        # We're iterating through sequence in order, so if elem is bigger than the   
        # end of longest current subsequence, we have a new longest increasing          
        # subsequence.                                                               
        if (len(smallest_end_to_subsequence_of_length) == 0 or
                    sequence[elem] > sequence[smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]]):
            # If we are adding the first element, it has no parent.  Otherwise, we        
            # need to update the parent to be the previous biggest element.            
            if len(smallest_end_to_subsequence_of_length) > 0:
                parent[elem] = smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]
            smallest_end_to_subsequence_of_length.append(elem)
        else:
            # If we can't make a longer subsequence, we might be able to make a        
            # subsequence of equal size to one of our earlier subsequences with a         
            # smaller ending number (which makes it easier to find a later number that 
            # is increasing).                                                          
            # Thus, we look for the smallest element in                                
            # smallest_end_to_subsequence_of_length that is at least as big as elem       
            # and replace it with elem.                                                
            # This preserves correctness because if there is a subsequence of length n 
            # that ends with a number smaller than elem, we could add elem on to the   
            # end of that subsequence to get a subsequence of length n+1.              
            location_to_replace = find_smallest_elem_as_big_as(sequence, smallest_end_to_subsequence_of_length, elem)
            smallest_end_to_subsequence_of_length[location_to_replace] = elem
            # If we're replacing the first element, we don't need to update its parent 
            # because a subsequence of length 1 has no parent.  Otherwise, its parent  
            # is the subsequence one shorter, which we just added onto.                
            if location_to_replace != 0:
                parent[elem] = (smallest_end_to_subsequence_of_length[location_to_replace - 1])

    # Generate the longest increasing subsequence by backtracking through parent.  
    curr_parent = smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]
    longest_increasing_subsequence = []

    while curr_parent is not None:
        longest_increasing_subsequence.append(sequence[curr_parent])
        curr_parent = parent[curr_parent]

    longest_increasing_subsequence.reverse()

    return longest_increasing_subsequence         

Answer 3

Говоря о решении DP, я обнаружил удивление, что никто не упомянул тот факт, что LIS может быть уменьшена до LCS . Все, что вам нужно сделать, это отсортировать копию оригинальной последовательности, удалить все дубликаты и сделать из них LCS. В псевдокоде это:

def LIS(S):
    T = sort(S)
    T = removeDuplicates(T)
    return LCS(S, T)

И полная реализация написана на Go. Вам не нужно поддерживать всю матрицу n ^ 2 DP, если вам не нужно восстанавливать решение.

func lcs(arr1 []int) int {
    arr2 := make([]int, len(arr1))
    for i, v := range arr1 {
        arr2[i] = v
    }
    sort.Ints(arr1)
    arr3 := []int{}
    prev := arr1[0] - 1
    for _, v := range arr1 {
        if v != prev {
            prev = v
            arr3 = append(arr3, v)
        }
    }

    n1, n2 := len(arr1), len(arr3)

    M := make([][]int, n2 + 1)
    e := make([]int, (n1 + 1) * (n2 + 1))
    for i := range M {
        M[i] = e[i * (n1 + 1):(i + 1) * (n1 + 1)]
    }

    for i := 1; i <= n2; i++ {
        for j := 1; j <= n1; j++ {
            if arr2[j - 1] == arr3[i - 1] {
                M[i][j] = M[i - 1][j - 1] + 1
            } else if M[i - 1][j] > M[i][j - 1] {
                M[i][j] = M[i - 1][j]
            } else {
                M[i][j] = M[i][j - 1]
            }
        }
    }

    return M[n2][n1]
}

Answer 4

Следующая реализация C ++ также включает в себя некоторый код, который создает фактическую самую длинную возрастающую подпоследовательность , используя массив с именем prev.

std::vector<int> longest_increasing_subsequence (const std::vector<int>& s)
{
    int best_end = 0;
    int sz = s.size();

    if (!sz)
        return std::vector<int>();

    std::vector<int> prev(sz,-1);
    std::vector<int> memo(sz, 0);

    int max_length = std::numeric_limits<int>::min();

    memo[0] = 1;

    for ( auto i = 1; i < sz; ++i)
    {
        for ( auto j = 0; j < i; ++j)
        {
            if ( s[j] < s[i] && memo[i] < memo[j] + 1 )
            {
                memo[i] =  memo[j] + 1;
                prev[i] =  j;
            }
        }

        if ( memo[i] > max_length ) 
        {
            best_end = i;
            max_length = memo[i];
        }
    }

    // Code that builds the longest increasing subsequence using "prev"
    std::vector<int> results;
    results.reserve(sz);

    std::stack<int> stk;
    int current = best_end;

    while (current != -1)
    {
        stk.push(s[current]);
        current = prev[current];
    }

    while (!stk.empty())
    {
        results.push_back(stk.top());
        stk.pop();
    }

    return results;
}

Реализация без стека, просто обратный вектор

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
std::vector<int> LIS( const std::vector<int> &v ) {
  auto sz = v.size();
  if(!sz)
    return v;
  std::vector<int> memo(sz, 0);
  std::vector<int> prev(sz, -1);
  memo[0] = 1;
  int best_end = 0;
  int max_length = std::numeric_limits<int>::min();
  for (auto i = 1; i < sz; ++i) {
    for ( auto j = 0; j < i ; ++j) {
      if (s[j] < s[i] && memo[i] < memo[j] + 1) {
        memo[i] = memo[j] + 1;
        prev[i] = j;
      }
    }
    if(memo[i] > max_length) {
      best_end = i;
      max_length = memo[i];
    }
  }

  // create results
  std::vector<int> results;
  results.reserve(v.size());
  auto current = best_end;
  while (current != -1) {
    results.push_back(s[current]);
    current = prev[current];
  }
  std::reverse(results.begin(), results.end());
  return results;
}

Answer 5

Вот три шага оценки проблемы с точки зрения динамического программирования:

1. Определение повторения: maxLength (i) == 1 + maxLength (j), где 0 array [j]
2. Граница параметра повторения: может быть от 0 до i - 1 подпоследовательность, переданная как параметр
3. Порядок оценки: по мере увеличения подпоследовательности его необходимо оценивать от 0 до n

Если мы возьмем в качестве примера последовательность {0, 8, 2, 3, 7, 9}, с индексом:

• [0] мы получим подпоследовательность {0} в качестве базового варианта
• [1] у нас есть 1 новая подпоследовательность {0, 8}
• [2] пытается оценить две новые последовательности {0, 8, 2} и {0, 2} путем добавления элемента с индексом 2 к существующим подпоследовательностям - допустима только одна, поэтому добавляется третья возможная последовательность {0, 2} только к списку параметров ...

Вот рабочий код C ++ 11:

#include <iostream>
#include <vector>

int getLongestIncSub(const std::vector<int> &sequence, size_t index, std::vector<std::vector<int>> &sub) {
    if(index == 0) {
        sub.push_back(std::vector<int>{sequence[0]});
        return 1;
    }

    size_t longestSubSeq = getLongestIncSub(sequence, index - 1, sub);
    std::vector<std::vector<int>> tmpSubSeq;
    for(std::vector<int> &subSeq : sub) {
        if(subSeq[subSeq.size() - 1] < sequence[index]) {
            std::vector<int> newSeq(subSeq);
            newSeq.push_back(sequence[index]);
            longestSubSeq = std::max(longestSubSeq, newSeq.size());
            tmpSubSeq.push_back(newSeq);
        }
    }
    std::copy(tmpSubSeq.begin(), tmpSubSeq.end(),
              std::back_insert_iterator<std::vector<std::vector<int>>>(sub));

    return longestSubSeq;
}

int getLongestIncSub(const std::vector<int> &sequence) {
    std::vector<std::vector<int>> sub;
    return getLongestIncSub(sequence, sequence.size() - 1, sub);
}

int main()
{
    std::vector<int> seq{0, 8, 2, 3, 7, 9};
    std::cout << getLongestIncSub(seq);
    return 0;
}

Answer 6

Вот еще одна O (n ^ 2) реализация JAVA. Нет рекурсии / запоминания для генерации фактической подпоследовательности. Просто строковый массив, который хранит фактическую LIS на каждом этапе и массив для хранения длины LIS для каждого элемента. Довольно чертовски легко. Посмотрите:

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;

/**
 * Created by Shreyans on 4/16/2015
 */

class LNG_INC_SUB//Longest Increasing Subsequence
{
    public static void main(String[] args) throws Exception
    {
        BufferedReader br=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        System.out.println("Enter Numbers Separated by Spaces to find their LIS\n");
        String[] s1=br.readLine().split(" ");
        int n=s1.length;
        int[] a=new int[n];//Array actual of Numbers
        String []ls=new String[n];// Array of Strings to maintain LIS for every element
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            a[i]=Integer.parseInt(s1[i]);
        }
        int[]dp=new int[n];//Storing length of max subseq.
        int max=dp[0]=1;//Defaults
        String seq=ls[0]=s1[0];//Defaults
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            dp[i]=1;
            String x="";
            for(int j=i-1;j>=0;j--)
            {
                //First check if number at index j is less than num at i.
                // Second the length of that DP should be greater than dp[i]
                // -1 since dp of previous could also be one. So we compare the dp[i] as empty initially
                if(a[j]<a[i]&&dp[j]>dp[i]-1)
                {
                    dp[i]=dp[j]+1;//Assigning temp length of LIS. There may come along a bigger LIS of a future a[j]
                    x=ls[j];//Assigning temp LIS of a[j]. Will append a[i] later on
                }
            }
            x+=(" "+a[i]);
            ls[i]=x;
            if(dp[i]>max)
            {
                max=dp[i];
                seq=ls[i];
            }
        }
        System.out.println("Length of LIS is: " + max + "\nThe Sequence is: " + seq);
    }
}

Код в действии: http://ideone.com/sBiOQx

Answer 7

Вот реализация Scala алгоритма O (n ^ 2):

object Solve {
  def longestIncrSubseq[T](xs: List[T])(implicit ord: Ordering[T]) = {
    xs.foldLeft(List[(Int, List[T])]()) {
      (sofar, x) =>
        if (sofar.isEmpty) List((1, List(x)))
        else {
          val resIfEndsAtCurr = (sofar, xs).zipped map {
            (tp, y) =>
              val len = tp._1
              val seq = tp._2
              if (ord.lteq(y, x)) {
                (len + 1, x :: seq) // reversely recorded to avoid O(n)
              } else {
                (1, List(x))
              }
          }
          sofar :+ resIfEndsAtCurr.maxBy(_._1)
        }
    }.maxBy(_._1)._2.reverse
  }

  def main(args: Array[String]) = {
    println(longestIncrSubseq(List(
      0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15)))
  }
}

Answer 8

Вот мое решение Leetcode, использующее бинарный поиск: ->

class Solution:
    def binary_search(self,s,x):
        low=0
        high=len(s)-1
        flag=1
        while low<=high:
              mid=(high+low)//2
              if s[mid]==x:
                 flag=0
                 break
              elif s[mid]<x:
                  low=mid+1
              else:
                 high=mid-1
        if flag:
           s[low]=x
        return s

    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
         if not nums:
            return 0
         s=[]
         s.append(nums[0])
         for i in range(1,len(nums)):
             if s[-1]<nums[i]:
                s.append(nums[i])
             else:
                 s=self.binary_search(s,nums[i])
         return len(s)

Answer 9

def longestincrsub(arr1):
    n=len(arr1)
    l=[1]*n
    for i in range(0,n):
        for j in range(0,i)  :
            if arr1[j]<arr1[i] and l[i]<l[j] + 1:
                l[i] =l[j] + 1
    l.sort()
    return l[-1]
arr1=[10,22,9,33,21,50,41,60]
a=longestincrsub(arr1)
print(a)

, хотя есть способ, которым вы можете решить это за O (nlogn) время (это решает за O (n ^ 2) время), но все же этот способ дает подход динамического программирования, который также хорош.

Answer 10

O (n ^ 2) Java-реализация:

void LIS(int arr[]){
        int maxCount[]=new int[arr.length];
        int link[]=new int[arr.length];
        int maxI=0;
        link[0]=0;
        maxCount[0]=0;

        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if(arr[j]<arr[i] && ((maxCount[j]+1)>maxCount[i])){
                    maxCount[i]=maxCount[j]+1;
                    link[i]=j;
                    if(maxCount[i]>maxCount[maxI]){
                        maxI=i;
                    }
                }
            }
        }


        for (int i = 0; i < link.length; i++) {
            System.out.println(arr[i]+"   "+link[i]);
        }
        print(arr,maxI,link);

    }

    void print(int arr[],int index,int link[]){
        if(link[index]==index){
            System.out.println(arr[index]+" ");
            return;
        }else{
            print(arr, link[index], link);
            System.out.println(arr[index]+" ");
        }
    }