Вы можете просто использовать Ctrl + C , пока окно сообщения имеет фокус, но оно даст вам гораздо больше текста, чем просто сообщение об ошибке.
, например
MessageBox.Show("Message", "Message Title", MessageBoxButton.OK);
Скопировал бы и вставил как:
---------------------------
Message Title
---------------------------
Message
---------------------------
OK
---------------------------