Извлечение точных частот из FFT Bins с использованием изменения фазы между кадрами

Question

Я просматривал эту фантастическую статью: http://blogs.zynaptiq.com/bernsee/pitch-shifting-using-the-ft/

Будучи фантастическим, он очень тяжелый и тяжелый.Этот материал действительно растягивает меня.

Я извлек математику из модуля кода Стефана, который вычисляет точную частоту для данного бина.Но я не понимаю последний расчет.Может кто-нибудь объяснить мне математическую конструкцию в конце?

Прежде чем копаться в коде, позвольте мне установить сцену:

• Допустим, мы установили fftFrameSize = 1024,Таким образом, мы имеем дело с 512 + 1 бинами

• Например, идеальная частота бина [1] соответствует одной волне в кадре.При частоте дискретизации 40 кГц tOneFrame = 1024 / 40K секунд = 1/40 с, поэтому в идеале Bin [1] будет собирать сигнал 40 Гц.

• Настройка osamp (overSample) = 4мы продвигаемся по нашему входному сигналу с шагом 256. Таким образом, первый анализ проверяет байты с нуля до 1023, затем с 256 по 1279 и т. д. Обратите внимание, что каждый float обрабатывается 4 раза.

...

void calcBins( 
              long fftFrameSize, 
              long osamp, 
              float sampleRate, 
              float * floats, 
              BIN * bins
              )
{
    /* initialize our static arrays */
    static float gFFTworksp[2*MAX_FRAME_LENGTH];
    static float gLastPhase[MAX_FRAME_LENGTH/2+1];

    static long gInit = 0;
    if (! gInit) 
    {
        memset(gFFTworksp, 0, 2*MAX_FRAME_LENGTH*sizeof(float));
        memset(gLastPhase, 0, (MAX_FRAME_LENGTH/2+1)*sizeof(float));
        gInit = 1;
    }

    /* do windowing and re,im interleave */
    for (long k = 0; k < fftFrameSize; k++) 
    {
        double window = -.5*cos(2.*M_PI*(double)k/(double)fftFrameSize)+.5;
        gFFTworksp[2*k] = floats[k] * window;
        printf("sinValue: %f", gFFTworksp[2*k]);
        gFFTworksp[2*k+1] = 0.;
    }

    /* do transform */
    smbFft(gFFTworksp, fftFrameSize, -1);

    printf("\n");

    /* this is the analysis step */
    for (long k = 0; k <= fftFrameSize/2; k++) 
    {
        /* de-interlace FFT buffer */
        double real = gFFTworksp[2*k];
        double imag = gFFTworksp[2*k+1];

        /* compute magnitude and phase */
        double magn = 2.*sqrt(real*real + imag*imag);
        double phase = atan2(imag,real);

        /* compute phase difference */
        double phaseDiff = phase - gLastPhase[k];
        gLastPhase[k] = phase;

        /* subtract expected phase difference */
        double binPhaseOffset = M_TWOPI * (double)k / (double)osamp;
        double deltaPhase = phaseDiff - binPhaseOffset;

        /* map delta phase into [-Pi, Pi) interval */
        // better, but obfuscatory...
        //    deltaPhase -= M_TWOPI * floor(deltaPhase / M_TWOPI + .5);

        while (deltaPhase >= M_PI)
            deltaPhase -= M_TWOPI;
        while (deltaPhase < -M_PI)
            deltaPhase += M_TWOPI;

(РЕДАКТИРОВАТЬ :) Теперь немного, что я не получаю:

        // Get deviation from bin frequency from the +/- Pi interval 
        // Compute the k-th partials' true frequency    

        // Start with bin's ideal frequency
        double bin0Freq = (double)sampleRate / (double)fftFrameSize;
        bins[k].idealFreq = (double)k * bin0Freq;

        // Add deltaFreq
        double sampleTime = 1. / (double)sampleRate;
        double samplesInStep = (double)fftFrameSize / (double)osamp;
        double stepTime = sampleTime * samplesInStep;
        double deltaTime = stepTime;        

        // Definition of frequency is rate of change of phase, i.e. f = dϕ/dt
        // double deltaPhaseUnit = deltaPhase / M_TWOPI; // range [-.5, .5)
        double freqAdjust = (1. / M_TWOPI) * deltaPhase / deltaTime; 

        // Actual freq <-- WHY ???
        bins[k].freq = bins[k].idealFreq + freqAdjust;
    }
}

Я просто не могу видеть это ясно, хотя он, кажется, смотрит влицо.Может ли кто-нибудь объяснить этот процесс с нуля, шаг за шагом?

Answer 1

Основной принцип очень прост.Если данный компонент точно соответствует частоте бина, то его фаза не изменится с одного FT на следующий.Однако, если частота не соответствует точно частоте ячейки, то между последовательными FT произойдет изменение фазы.Дельта частоты равна:

delta_freq = delta_phase / delta_time

, и тогда уточненная оценка частоты компонента будет:

freq_est = bin_freq + delta_freq

Answer 2

Я реализовал этот алгоритм для Performous сам.Когда вы берете другое БПФ со смещением по времени, вы ожидаете, что фаза изменится в соответствии со смещением, то есть два БПФ, взятые с интервалом 256 выборок, должны иметь разность фаз 256 выборок для всех частот, присутствующих в сигнале (это предполагает, что сами сигналыустойчивы, что является хорошим предположением для коротких периодов, таких как 256 выборок).

Теперь фактические значения фазы, которые вы получаете из БПФ, не в выборках, а в фазовом угле, поэтому они будут отличаться в зависимости от частоты,В следующем коде значение phaseStep - это коэффициент преобразования, необходимый для каждого элемента, т. Е. Для частоты, соответствующей элементу x, сдвиг фазы будет равен x * phaseStep.Для центральных частот ячейки x будет целым числом (номером ячейки), но для фактических обнаруженных частот это может быть любое действительное число.

const double freqPerBin = SAMPLE_RATE / FFT_N;
const double phaseStep = 2.0 * M_PI * FFT_STEP / FFT_N;

Коррекция работает, предполагая, что сигнал в ячейке имеет центр ячейкичастота, а затем рассчитать ожидаемый сдвиг фазы для этого.Этот ожидаемый сдвиг вычитается из фактического сдвига, оставляя ошибку.Остаток (по модулю 2 pi) берется (от -pi до pi-диапазона), и окончательная частота вычисляется с помощью центра + коррекции бина.

// process phase difference
double delta = phase - m_fftLastPhase[k];
m_fftLastPhase[k] = phase;
delta -= k * phaseStep;  // subtract expected phase difference
delta = remainder(delta, 2.0 * M_PI);  // map delta phase into +/- M_PI interval
delta /= phaseStep;  // calculate diff from bin center frequency
double freq = (k + delta) * freqPerBin;  // calculate the true frequency

Обратите внимание, что многие смежные бины часто заканчиваются коррекцией на одну и ту же частоту.поскольку дельта-коррекция может составлять до 0,5 * FFT_N / FFT_STEP в любом случае, поэтому чем меньше FFT_STEP, который вы используете, тем дальше будут возможны коррекции (но это увеличивает необходимую вычислительную мощность, а также неточность из-за неточностей).

Надеюсь, это поможет:)

Answer 3

Это метод оценки частоты, используемый методами фазового вокодера.

Если вы посмотрите на одну точку синусоидальной волны (с фиксированной частотой и с фиксированной амплитудой) во времени, то фаза со временем продвинется наколичество пропорционально частоте.Или вы можете сделать обратное: если вы измеряете, насколько фаза синусоиды изменяется в любую единицу времени, вы можете вычислить частоту этой синусоиды.

Фазовый вокодер использует два БПФ для оценки фазы со ссылкойдо двух окон БПФ, а смещение двух БПФ - это расстояние между двумя фазовыми измерениями во времени.Отсюда у вас есть ваша оценка частоты для этого бункера FFT (бин FFT является грубо фильтром для выделения синусоидального компонента или другого достаточно узкополосного сигнала, который помещается в этот бин).

Чтобы этот метод работал,спектр вблизи используемой ячейки БПФ должен быть достаточно стационарным, например, не изменяться по частоте и т. д. Это предположение, которое требуется для фазового вокодера.

Answer 4

Наконец я понял это;действительно я должен был вывести это с нуля.Я знал, что будет какой-то простой способ получить его, моя (обычная) ошибка заключалась в том, чтобы попытаться следовать логике других людей, а не использовать свой собственный здравый смысл.чтобы разблокировать его.

• Первый ключ заключается в том, чтобы понять, как передискретизация вызывает вращение фазы бин.* Второй ключ взят из графика 3.3 и 3.4 здесь: http://www.dspdimension.com/admin/pitch-shifting-using-the-ft/

...

for (int k = 0; k <= fftFrameSize/2; k++) 
{
    // compute magnitude and phase 
    bins[k].mag = 2.*sqrt(fftBins[k].real*fftBins[k].real + fftBins[k].imag*fftBins[k].imag);
    bins[k].phase = atan2(fftBins[k].imag, fftBins[k].real);

    // Compute phase difference Δϕ fo bin[k]
    double deltaPhase;
    {
        double measuredPhaseDiff = bins[k].phase - gLastPhase[k];
        gLastPhase[k] = bins[k].phase;

        // Subtract expected phase difference <-- FIRST KEY
        // Think of a single wave in a 1024 float frame, with osamp = 4
        //   if the first sample catches it at phase = 0, the next will 
        //   catch it at pi/2 ie 1/4 * 2pi
        double binPhaseExpectedDiscrepancy = M_TWOPI * (double)k / (double)osamp;
        deltaPhase = measuredPhaseDiff - binPhaseExpectedDiscrepancy;

        // Wrap delta phase into [-Pi, Pi) interval 
        deltaPhase -= M_TWOPI * floor(deltaPhase / M_TWOPI + .5);
    }

    // say sampleRate = 40K samps/sec, fftFrameSize = 1024 samps in FFT giving bin[0] thru bin[512]
    // then bin[1] holds one whole wave in the frame, ie 44 waves in 1s ie 44Hz ie sampleRate / fftFrameSize
    double bin0Freq = (double)sampleRate / (double)fftFrameSize;
    bins[k].idealFreq = (double)k * bin0Freq;

    // Consider Δϕ for bin[k] between hops.
    // write as 2π / m.
    // so after m hops, Δϕ = 2π, ie 1 extra cycle has occurred   <-- SECOND KEY
    double m = M_TWOPI / deltaPhase;

    // so, m hops should have bin[k].idealFreq * t_mHops cycles.  plus this extra 1.
    // 
    // bin[k].idealFreq * t_mHops + 1 cycles in t_mHops seconds 
    //   => bins[k].actualFreq = bin[k].idealFreq + 1 / t_mHops
    double tFrame = fftFrameSize / sampleRate;
    double tHop = tFrame / osamp;
    double t_mHops = m * tHop;

    bins[k].freq = bins[k].idealFreq + 1. / t_mHops;
}

Answer 5

Может быть, это поможет.Представьте, что ячейки FFT задают маленькие часы или роторы, каждый из которых вращается с частотой ячейки.Для стабильного сигнала (теоретическая) следующая позиция ротора может быть предсказана с использованием математики в бите, который вы не получите.В противовес этой «идеальной» («идеальной») позиции вы можете вычислить несколько полезных вещей: (1) разницу с фазой в ячейке соседнего кадра, которая используется фазовым вокодером для лучшей оценкичастоты бина или (2) в более общем смысле отклонение фазы , что является положительным индикатором начала ноты или какого-либо другого события в звуке.

Answer 6

Частоты сигнала, которые попадают точно в фазу сдвига частоты дискретизации на целое число, кратное 2π. Поскольку фазы бина, которые соответствуют частотам бина, кратны 2π из-за периодической природы БПФ, в этом случае не происходит никакого изменения фазы. Упомянутая вами статья также объясняет это.