Принятый ответ не работает для меня, , поэтому дайте ответ рабочее решение, может быть, это полезно!
EditText edt = (EditText) findViewById(R.id.edt);
edt.requestFocus();
edt.dispatchTouchEvent(MotionEvent.obtain(SystemClock.uptimeMillis(), SystemClock.uptimeMillis(), MotionEvent.ACTION_DOWN , 0, 0, 0));
edt.dispatchTouchEvent(MotionEvent.obtain(SystemClock.uptimeMillis(), SystemClock.uptimeMillis(), MotionEvent.ACTION_UP , 0, 0, 0));
Теперь клавиатура открыта наслаждайтесь:)