Плотность числа с плавающей запятой - Величина числа

Question

Правда ли, что чем больше число с плавающей запятой больше (положительное или отрицательное), тем меньше у нас битов для кодирования десятичных цифр?

Можем ли мы кодировать больше десятичных цифр между 2 ¹ и 2 ² , чем между 2 ¹⁶ и 2 ³² ?

Существует ли одинаковое количество значений между этими двумя диапазонами?

Answer 1

IEEE 754, двоичные числа 32 указаны следующим образом:

По существу, оно состоит из трех частей:

• 1 бит float32_signпредставляющий знак
• 23 бит float32_fraction[], представляющий коэффициенты двоичной дроби
• 8 бит float32_exp, представляющий целое число 2

См. Википедия/ Single-precision_floating-point_format для деталей.

Формула для получения действительного числа:

Забывая показатель степени, дробная часть можетточно представлять pow(2, 23) = 8388608 значений.Максимальные и минимальные значения в этом диапазоне:

    ( 1 + 0, 1 + sum(pow(2, -i)) )  # All co-efficients being 0 and 1 resp. in the above formula
=>  ( 1, 2 - pow(2, -23) )          # By geometric progression
~>  ( 1, 2 )                        # Approximation by upper-bound

Таким образом, для показателя степени 1 (float32_exp = 128) у нас будет 8388608 чисел между (1,2) и (-1,-2).

Однако для больших чисел, например, когда показатель степени равен 126 (float32_exp = 253), у нас все еще есть только 8388608 чисел, представляющих разрыв между (2^126), 2^127) и (-2^126, -2^127).

График распределения между 1 и 128 выглядит следующим образом:

График настолько крутой при 0, что при построении графика он будет выглядеть как единственное значение только при 0.Обратите внимание, что затухание является экспоненциальным.

Формула для получения числа чисел с плавающей запятой между двумя значениями:

def num_floats(begin, end):
    # pow(2, 23) * (log(end, 2) - log(start, 2)) == pow(2, 23) * log(end/start, 2)
    return 8388608 * math.log(float(end)/float(begin), 2)

Answer 2

Да, плотность чисел, которые в точности представимы числом с плавающей запятой, уменьшается с ростом числа.

Другими словами, числа с плавающей запятой имеют только фиксированное число битов для мантиссы , и, по мере того, как числа становятся больше, меньшее количество этих цифр в манитсе будет после десятичной точки (что я думаю, что вы спрашивали).

Альтернативой могут быть числа с фиксированной точкой , где число цифр после десятичной точки является постоянным. Но не во многих системах используются числа с фиксированной запятой, поэтому, если вы этого хотите, вы должны свернуть свои собственные или использовать стороннюю библиотеку.

Answer 3

Число с плавающей запятой - это двоичное представление мантиссы и показателя степени.Для IEEE 754 short real, наиболее распространенного 32-разрядного представления, есть знаковый бит, 23 + 1 бит для мантиссы и диапазон экспонент от –126 до +127 при степени двойки.

Итак, для адресации ваших точек:

1. Количество бит для кодирования цифр является постоянным.около 7 десятичных цифр для 32-разрядного числа с плавающей точкой и около 16 для 64-разрядного числа с плавающей точкой.

2. См. 1.

3. Даare.

Answer 4

С Что должен знать каждый компьютерщик об арифметике с плавающей точкой :

Как правило, число с плавающей точкой будет представлено как ± d.dd ... d × e, где d.dd ... d называется значимым и имеет p цифр. Больше точно ± d0. d1 d2 ... dp-1 × e представляет число.

Следовательно, ответ - да, потому что мантисса (старое слово для значимого) имеет фиксированное количество бит.