Как вычислить вершину параболы с учетом трех точек

Question

У меня есть три точки X / Y, которые образуют параболу. Мне просто нужно вычислить, какая вершина параболы проходит через эти три точки. Желательно, чтобы это был быстрый способ, поскольку мне нужно сделать МНОГО таких вычислений!

Веб-сайт «Спросите ученого» предоставляет этот ответ :

Общий вид параболы задается уравнением: A * x ^ 2 + B * x + C = y, где A, B и C - произвольные действительные постоянные. У вас есть три пары точек, которые являются (x, y) упорядоченными парами. Подставим значения x и y каждой точки в уравнение для параболы. Вы получите три ЛИНЕЙНЫХ уравнения с тремя неизвестными, тремя константами. Затем вы можете легко решить эту систему из трех уравнений для значений A, B и C, и вы получите уравнение параболы, которая пересекает ваши 3 точки. В вершине, где первая производная равна 0, маленькая алгебра дает: (-B / 2A, C - B ^ 2 / 4A) для вершины.

Было бы неплохо увидеть реальный код, который выполняет эти вычисления в C # или C ++. Кто-нибудь?

Answer 1

Спасибо, Дэвид, я преобразовал ваш псевдокод в следующий код C #:

public static void CalcParabolaVertex(int x1, int y1, int x2, int y2, int x3, int y3, out double xv, out double yv)
{
    double denom = (x1 - x2) * (x1 - x3) * (x2 - x3);
    double A     = (x3 * (y2 - y1) + x2 * (y1 - y3) + x1 * (y3 - y2)) / denom;
    double B     = (x3*x3 * (y1 - y2) + x2*x2 * (y3 - y1) + x1*x1 * (y2 - y3)) / denom;
    double C     = (x2 * x3 * (x2 - x3) * y1 + x3 * x1 * (x3 - x1) * y2 + x1 * x2 * (x1 - x2) * y3) / denom;

    xv = -B / (2*A);
    yv = C - B*B / (4*A);
}

Это то, что я хотел. Простой расчет вершины параболы. Я обработаю целочисленное переполнение позже.

Answer 2

Это на самом деле простая задача линейной алгебры, поэтому вы можете выполнять вычисления символически. Подставляя значения x и y трех точек, вы получите три линейных уравнения с тремя неизвестными.

A x1^2 + B x1 + C = y1
A x2^2 + B x2 + C = y2
A x3^2 + B x3 + C = y3

Простой способ решить эту проблему - инвертировать матрицу

x1^2  x1  1
x2^2  x2  1
x3^2  x3  1

и умножьте его на вектор

y1
y2
y3

Результат этого ... ладно, не совсем так просто ;-) Я сделал это в Mathematica, а вот формулы в псевдокоде:

denom = (x1 - x2)(x1 - x3)(x2 - x3)
A = (x3 * (y2 - y1) + x2 * (y1 - y3) + x1 * (y3 - y2)) / denom
B = (x3^2 * (y1 - y2) + x2^2 * (y3 - y1) + x1^2 * (y2 - y3)) / denom
C = (x2 * x3 * (x2 - x3) * y1 + x3 * x1 * (x3 - x1) * y2 + x1 * x2 * (x1 - x2) * y3) / denom

В качестве альтернативы, если вы хотите выполнять математическую математику численно, вы обычно обращаетесь к линейной алгебраической системе (например, ATLAS , хотя я не уверен, имеет ли она привязки C # / C ++).

Answer 3

Вот код на Фортране, который реализует решение @ david-z и @ AZDean:

subroutine parabola_vertex(x1, y1, x2, y2, x3, y3, xv, yv)
real(dp), intent(in) :: x1, y1, x2, y2, x3, y3
real(dp), intent(out) :: xv, yv
real(dp) :: denom, A, B, C
denom = (x1 - x2) * (x1 - x3) * (x2 - x3)
A     = (x3 * (y2 - y1) + x2 * (y1 - y3) + x1 * (y3 - y2)) / denom
B     = (x3**2 * (y1 - y2) + x2**2 * (y3 - y1) + x1**2 * (y2 - y3)) / denom
C     = (x2 * x3 * (x2 - x3) * y1 + x3 * x1 * (x3 - x1) * y2 + &
            x1 * x2 * (x1 - x2) * y3) / denom
xv = -B / (2*A)
yv = C - B**2 / (4*A)
end subroutine

Answer 4

Вы можете получить следующие три уравнения путем прямой замены:

A*x1^2+B*x1+C=y1
A*x2^2+B*x2+C=y2
A*x3^2+B*x3+C=y3

Вы можете решить эту проблему, отметив, что это эквивалентно матричному произведению:

[x1^2 x1 1] [A]   [y1]
|x2^2 x2 1|*|B| = |y2|
[x3^2 x3 1] [C]   [y3]

Таким образом, вы можете получить A, B и C, инвертировав матрицу и умножив обратное на вектор справа.

Я вижу, что когда я публиковал эту статью, Джон Раш связал ее с учебным пособием, в котором более подробно рассматривается решение матричного уравнения, поэтому вы можете следовать этим инструкциям, чтобы получить ответ. Инвертировать матрицу 3х3 довольно легко, поэтому это не должно быть слишком сложно.

Answer 5

Я сделал нечто похожее на ответ @ piSHOCK, также основанный на коде @ AZDean. Если вам нужно запустить его интенсивно (или использовать его в Matlab, как я), он может быть самым быстрым.

Я предполагаю, что x1 == -1, x2 == 0, x3 == 1.

a = y2 - ( y1 + y3) / 2   % opposite signal compared to the original definition of A
b = (y3 - y1) / 4         % half of the originally defined B

xExtr = b / a
yExtr = y2 + b * yExtr    % which is equal to y2 + b*b / a

Answer 6

Это пахнет домашней работой. «Спроси ученого» - это правильно. Скажите, что ваши 3 точки (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3). Затем вы получите три линейных уравнения:

| M<sub>11</sub> M<sub>12</sub> M<sub>13</sub> |   | A |   | Z<sub>1</sub> |
| M<sub>21</sub> M<sub>22</sub> M<sub>23</sub> | * | B | = | Z<sub>2</sub> |
| M<sub>31</sub> M<sub>32</sub> M<sub>33</sub> |   | C |   | Z<sub>3</sub> |

Где М ₁₁ = х ₁ ² , М ₁₂ = х ₁ , М ₁₃ = 1, Z ₁ = y ₁ , и аналогично для двух других строк, использующих (x2, y2) и (x3, y3) вместо (x1) , у1).

Решение этой системы из 3 уравнений даст вам решение для A, B и C.

Answer 7

работает на https://ideone.com/y0SxKU

#include <iostream>
using namespace std;
// calculate the vertex of a parabola given three points
// https://stackoverflow.com/q/717762/16582

// @AZDean implementation with given x values

void CalcParabolaVertex(int x1, int y1, int x2, int y2, int x3, int y3, double& xv,  double& yv)
{
    double denom = (x1 - x2) * (x1 - x3) * (x2 - x3);
    double A     = (x3 * (y2 - y1) + x2 * (y1 - y3) + x1 * (y3 - y2)) / denom;
    double B     = (x3*x3 * (y1 - y2) + x2*x2 * (y3 - y1) + x1*x1 * (y2 - y3)) / denom;
    double C     = (x2 * x3 * (x2 - x3) * y1 + x3 * x1 * (x3 - x1) * y2 + x1 * x2 * (x1 - x2) * y3) / denom;

    xv = -B / (2*A);
    yv = C - B*B / (4*A);
}

// @piSHOCK immplementation assuming regular x values ( wrong!!! )

void CalcParabolaVertex2( int y1, int y2, int y3, double& xv,  double& yv)
{
double d1 = y1 - y2;
double d2 = y1 - y3;

double a =    -d1 + 0.5 * d2;
double b = 2 * d1 - 0.5 * d2;
double c = -y1;

xv =    -0.5      * b / a;
yv = c - 0.25 * b * b / a;  
}

// corrected immplementation assuming regular x values

void CalcParabolaVertex3( int y1, int y2, int y3, double& xv,  double& yv)
{
double d1 = y1 - y2;
double d2 = y1 - y3;

double a = d1 - 0.5 * d2;
double b = -2 * d1 + 0.5 * d2;
double c = y1;

xv =    -0.5      * b / a;
yv = c - 0.25 * b * b / a;  
}


int main() {
    double xv, yv;
    CalcParabolaVertex( 0, 100, 1, 500, 2, 200, xv, yv );
    cout << xv <<" "<< yv << "\n";
    CalcParabolaVertex2( 100, 500, 200, xv, yv );
    cout << xv <<" "<< yv << "\n";
    CalcParabolaVertex3( 100, 500, 200, xv, yv );
    cout << xv <<" "<< yv << "\n";
    return 0;
}

Я добавил несколько юнит-тестов для отрицательных пиковых значений: работа вживую на https://ideone.com/WGK90S

Answer 8

Если вы сделаете предположение, что x1 == 0, x2 == 1, x3 == 2, например, при локальной подгонке кривой к некоторому равномерно дискретизированному сигналу, то код @AZDean будет аналогичен:

d1 = y1 - y2
d2 = y1 - y3

a =      d1 - 0.5 * d2
b = -2 * d1 + 0.5 * d2
c = y1

xVertex =    -0.5      * b / a
yVertex = c - 0.25 * b * b / a

Answer 9

def vertex(x1,x2,x3,y1,y2,y3):
    '''Given three pairs of (x,y) points return the vertex of the
         parabola passing through the points. Vectorized and common expression reduced.'''
    #Define a sequence of sub expressions to reduce redundant flops
    x0 = 1/x2
    x4 = x1 - x2
    x5 = 1/x4
    x6 = x1**2
    x7 = 1/x6
    x8 = x2**2
    x9 = -x7*x8 + 1
    x10 = x0*x1*x5*x9
    x11 = 1/x1
    x12 = x3**2
    x13 = x11*x12
    x14 = 1/(x0*x13 - x0*x3 - x11*x3 + 1)
    x15 = x14*y3
    x16 = x10*x15
    x17 = x0*x5
    x18 = -x13 + x3
    x19 = y2*(x1*x17 + x14*x18*x6*x9/(x4**2*x8))
    x20 = x2*x5
    x21 = x11*x20
    x22 = x14*(-x12*x7 + x18*x21)
    x23 = y1*(-x10*x22 - x21)
    x24 = x16/2 - x19/2 - x23/2
    x25 = -x17*x9 + x7
    x26 = x0*x1*x14*x18*x5
    x27 = 1/(-x15*x25 + y1*(x20*x7 - x22*x25 + x7) + y2*(-x17 + x25*x26))
    x28 = x24*x27
    return x28,x15 + x22*y1 + x24**2*x27 - x26*y2 + x28*(-x16 + x19 + x23)