Если вы используете Java 8 или новее, можно использовать java.util.Base64
:
HttpURLConnection connection = (HttpURLConnection) new URL(url).openConnection();
String encoded = Base64.getEncoder().encodeToString((username+":"+password).getBytes(StandardCharsets.UTF_8)); //Java 8
connection.setRequestProperty("Authorization", "Basic "+encoded);
Затем используйте соединение как обычно.
Если вы используете Java 7 или ниже, вам понадобится метод для кодирования строки в Base64, например:
byte[] message = (username+":"+password).getBytes("UTF-8");
String encoded = javax.xml.bind.DatatypeConverter.printBase64Binary(message);
Да, это все, что вам нужно сделать, чтобы использовать Basic Auth. Приведенный выше код для установки свойства запроса должен выполняться сразу после открытия соединения и до получения потоков ввода или вывода.