Отличается ли кнопка «Нравится» Facebook от URL с www и без него?
Если да, как я могу рассчитывать на оба URL? или как я могу это исправить?
Нет, он относится к ним так же, как и к одному и тому же веб-контенту.
Примеры:
https://graph.facebook.com/http://cocacola.com
https://graph.facebook.com/http://www.cocacola.com
Лучший способ проверить подобные проблемы - перейти сюда:
https://developers.facebook.com/tools/debug
и ввести свой URL.