Если f = O (g), то e ^ f = O (e ^ g)?

Question

Если f = O(g), это e^f = O(e^g)?

Мне трудно разобраться с вышеуказанным вопросом.Пример будет приветствоваться.Кроме того, если вы используете правило l'Hôpital, пожалуйста, покажите, как вы проводите дифференцирование.

Answer 1

Это утверждение неверно, например, 2n = O (n), но exp (2n)! = O (exp (n)).(Последнее означало бы exp (2n) <= C exp (n) для достаточно большого n, то есть exp (n) <= C, что неверно.) </p>

Answer 2

Претензия неверна.

В качестве примера можно привести следующее: Мы не сомневаемся, что 2n является элементом O(n). Но мы можем доказать, что exp(2n) не является элементом O(exp(n)). Это можно легко увидеть, вычислив

                 exp(2n)
     lim        -------- = infinity
n -> infinity     exp(n)

, что означает, что exp(2n) не в O(exp(n)).

Учитывая ваш намек на L'Hospital: это правило для вычисления лимитов с использованием производных, точнее:

                f(x)                       f'(x)
     lim       ------  =        lim     -----------
n -> infinity   g(x)      n -> infinity    g'(x)

при определенных обстоятельствах (например, f и g стремятся к бесконечности. Я не знаю точных критериев, которые необходимо выполнить, поэтому я просто предлагаю прочитать это для получения дополнительной информации.

Но, что мы можем сказать о функциях и их производных, так это:

Если f'(x) является элементом O(g'(x)), то мы имеем, что f(x) является элементом O(g(x)). Другое направление не так.

Answer 3

Я постараюсь помочь вам с l'Hôpital's:

$ \ lim_ {x \ to a} {f (x) \ over g (x)} = \ lim_ {x \ to} {f '(a) \ over g' (a)}

Мы используем это для решения неопределенности inf / inf или 0/0.Но ваша проблема не в том, что я думаю, а, возможно, когда вы пытаетесь получить O (g (n)) или exp (f (n)), которые являются составными функциями.

Правило цепочки для получения составных функцийэто: (туман) (x) = f '(g (x)). g' (x)

если вы выполните это, вы можете получить любую составную функцию.