Когда вы видели функцию $ (), это была, вероятно, какая-то библиотека, такая как jQuery или Prototype. Функция $ не является псевдонимом для document.getElementById, но является оберткой, расширяющей функциональность функции.
Чтобы создать свою собственную оболочку, вы можете написать функцию "псевдоним":
var alias = document.getElemenyById;
или
function alias(id) { return document.getElementById(id); }
Но на самом деле я бы использовал одну из доступных библиотек, такую как jQuery или Prototype.