Поскольку это api.php, он автоматически добавляет / api / к вашему URL. Попробуйте /api/session/storeValue.
Из документов:
Маршруты, определенные в файле route / api.php, вложены в маршрут
группа по RouteServiceProvider. В этой группе / api URI
Префикс применяется автоматически, поэтому вам не нужно применять вручную
это к каждому маршруту в файле. Вы можете изменить префикс и другие
параметры группы маршрутов путем изменения класса RouteServiceProvider.
EDIT:
добавить имя:
Route::post('/session/storeValue', 'HomeController@storeValue')->name('custom_name');
Затем измените свой JavaScript:
$.ajax({
type: "POST",
url: '/session/storeValue',
data: data,
до
$.ajax({
type: "POST",
url: '{{ route('custom_name')}}',
data: data,
РЕДАКТИРОВАТЬ 2:
И да, не отправляйте CSRF_TOKEN (проверьте ответ @Yur Gasparyan)