Вас может заинтересовать вывод
git symbolic-ref HEAD
В частности, в зависимости от ваших потребностей и макета вы можете сделать
basename $(git symbolic-ref HEAD)
или
git symbolic-ref HEAD | cut -d/ -f3-
и затем снова есть файл .git/HEAD
, который также может вас заинтересовать.