Проблема в том, что именно вы хотите обновить в контроллере?
метод обновления является нестатическим, и его нельзя вызывать с помощью (: :) "pamayim nikodatiyim". А это значит, что вы должны получить строку, которую хотите обновить, из базы данных, а затем вызвать метод обновления.
для этого у вас есть два способа:
по привязке модели laravel, вы можете прочитать документы здесь:
https://laravel.com/docs/5.6/routing#route-parameters
Или вы можете просто отправить идентификатор строки, которую вы хотите обновить, получить данные и затем вызвать метод обновления:
$data = YourModelName::whereId($request['row_id'])->first();
$data->update([ //updateing to myroutes table
'start' => $request->start,
'end' => $request->end,
'waypoints' => implode(",", $request->waypoints)
]);
Вы не можете обновить, не указав, какую строку вы хотите обновить. это не имеет никакого смысла.