Можно напрямую отправлять сообщения через бота пользователям, которым нравится страница
Нет, это невозможно.
Все общение через API платформы Messenger (основа для «ботов» в терминологии Facebook) требует, чтобы пользователь инициировал его.
И, вероятно, большинство людей сочли бы это спамом - просто потому, что мне понравилась ваша страница, не значит, что я хочу, чтобы вы связались с вами каким-либо иным образом. Размещение на вашей странице - это назначенный способ общения с людьми, которые следят за вашей страницей.