Я пытаюсь отправить значение поля ввода на "onClick" события кнопки, что с этим не так?
<input #new_field type="text" /> <button (click)="saveNewField(new_field.value)">Save</button>
saveNewField(new_name) { // new_name is undefined }
Вам необходимо определить атрибут value для него, иначе он будет распознан как неопределенный.
<input #new_field type="text" value=""/>