Я преобразую это в ответ, так как я собираюсь прикрепить изображения. Я сделал нечто подобное для функции чата.
Сделайте так, чтобы у родительского объекта был подгонщик размера контента, и установите горизонтальное или вертикальное подгонку в предпочтительный размер.

Пусть его непосредственный дочерний элемент будет фоном, и добавьте в него элемент макета, чтобы контролировать его минимальный размер. Также добавьте в него группу макетов, чтобы контролировать текст, который вы добавите в него в качестве дочернего элемента.

Добавить текст как дочерний элемент фона

Измените текст, чтобы проверить фон.

[EDIT]
1. Я изменил группу макетов Родителя на VerticalLayoutGroup
.
2. Я сделал копию игрового объекта «Фон», но с разными текстами, на которых вы можете видеть, как ContentSizeFitter
и VerticalLayoutGroup
контролируют размер детей.

На скриншотах выше я никогда ничего не настраивал в прямоугольном преобразовании. Я просто изменил текст, и, как вы можете видеть, фон каждого текста / диалога / сообщения также изменился.