Я не думаю, что вам нужен TextBox
контроль вообще.
Если все, что вы хотите сделать, это выбрать элемент из списка и затем отобразить его, это именно то, что ComboBox
делает по своему замыслу.
Но если вы хотите, например отобразить текущий выбор ComboBox
в другом элементе, который можно привязать ComboBox.SelectedItem
к TextBox
, используя DataBinding.
В этом вопросе SO вы найдете много информации о связывании элементов управления «ComboBox» с использованием MVVM:
Связывание ComboBox SelectedItem с использованием MVVM
Если вы хотите углубиться в MVVM, есть замечательная статья Джоша Смита, которую я использовал для начала работы с WPF и MVVM:
Шаблон MVVM Джоша Смита