Говоря от имени Android: ваше приложение должно переопределить WebViewClient#onReceivedHttpAuthRequest(). Когда это вызывается, ваше приложение должно создать свой собственный всплывающий пользовательский интерфейс для получения учетных данных пользователя и передать их обратно в WebView через HttpAuthHandler#proceed().
Я не так хорошо знаком со стороной iOS, но я ожидаю, что ей нужно подобное решение.