Вам необходимо назначить новый идентификатор кнопке после успешного завершения и убедиться, что динамически обновляет атрибут данных этой кнопки.
Отметьте $that.data
часть, где присваивается новый идентификатор данных. при использовании friendly-id сделайте это.
$(document).on('click', '.next-club', function(e) {
e.preventDefault();
var id = $(this).data("id");
var $that = $(this);
$.get('/clubs/' + id + '/next', function(data, status) {
if(status == 'success'){
$('#club-info').html('')
$('#club-info').append(`<h2>${data.name}</h2>` +
`<br>` +
`<h2>${data.brand}</h2>`);
$that.data('id', data.id); #assign new id
}
})
}