Файл cookie обычно включается в запрос любого типа, но сценарий, который вы описываете, это то, что известно как сторонний файл cookie (то есть файл cookie устанавливается в домене, отличном от домен загруженной страницы), и большинство браузеров предлагают настройку конфиденциальности для блокировки сторонних файлов cookie.
Сторонние cookie позволяют владельцам bar.com размещать изображения (например, рекламные баннеры) на foo.com и отслеживать пользователей foo.com, даже если эти пользователи никогда не посещали bar.com. Это проблема конфиденциальности, и многие пользователи предпочитают блокировать такие файлы cookie.