Если вы хотите это сразу после нажатия слайда, используйте плагин-событие "afterChange" вместо дополнительного прослушивателя кликов, как вы делаете.
$('.your-element').on('afterChange', function(event, slick, currentSlide){
//
});
Где currentSlide - это индекс последнего скользящего элемента.
Если вам нужен слушатель для щелчка на самом слайде, вы можете считывать позицию из атрибута данных (вам придется нормализовать это значение, так как есть также -1, но это должно легко работать).
Ваш измененный код:
// // define inner slider
$('.slider').slick({
dots: false,
infinite: true,
slidesToShow: 5,
slidesToScroll: 5,
centerMode: true,
centerPadding: 110,
focusOnSelect: true,
variableWidth: true
});
$('.slider').on('afterChange', function (event, slick, currentSlide) {
console.log('afterChange, currentSlide: ', currentSlide);
});
$('.slick-slide').on('click', function(ev){
console.log('onClick slick-index:', $(ev.currentTarget).data('slick-index'));
});
.slick-slide {
padding: 10px;
}
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.1/jquery.min.js"></script>
<link href="//cdn.jsdelivr.net/npm/slick-carousel@1.8.1/slick/slick.css" rel="stylesheet" />
<script src="//cdn.jsdelivr.net/npm/slick-carousel@1.8.1/slick/slick.min.js"></script>
<div class="slider">
<div><img src="http://placehold.it/50x50"></div>
<div><img src="http://placehold.it/50x50"></div>
<div><img src="http://placehold.it/50x50"></div>
<div><img src="http://placehold.it/50x50"></div>
<div><img src="http://placehold.it/50x50"></div>
<div><img src="http://placehold.it/50x50"></div>
<div><img src="http://placehold.it/50x50"></div>
<div><img src="http://placehold.it/50x50"></div>
<div><img src="http://placehold.it/50x50"></div>
<div><img src="http://placehold.it/50x50"></div>
</div>