Я пытаюсь решить упражнения из «Нелинейной динамики и хаоса» Стивена Строгаца. В упражнении 2.8.3, 2.8.4 и 2.8.5 ожидается реализация метода Эйлера, улучшенного метода Эйлера и метода Рунге-Кутты (4-го порядка) соответственно для задачи начальных значений dx / dt = -x; x (0) = 1, чтобы найти x (1).
Аналитически, ответ 1 / е. И я обнаружил ошибку, полученную в каждом методе. К моему большому удивлению, в Euler я получал меньше ошибок, чем в Improved Euler и Runge-Kutta!
Мой код выглядит следующим образом. Извините за потертость.
from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
to = 0
xo = 1
tf = 1
deltaT = np.zeros([5])
errorE = np.zeros([5])
errorIE = np.zeros([5])
errorRK = np.zeros([5])
for j in range(0,5):
n = pow(10,j)
deltat = (tf - to)/(n)
print ("delta t is",deltat)
deltaT[j] = deltat
t = np.linspace(to,tf,n)
xE = np.zeros([n])
xIE = np.zeros([n])
xRK = np.zeros([n])
xE[0] = xo
xIE[0] = xo
xRK[0] = xo
for i in range (1,n):
#Regular Euler
xE[i] = deltat*(-xE[i-1]) + xE[i-1]
#Improved Euler
IEintermediate = deltat*(-xIE[i-1]) + xIE[i-1]
xIE[i] = xIE[i-1] - deltat*(xIE[i-1] + IEintermediate)/2
#Runge-Kutta fourth order
k1 = -deltat*xRK[i-1]
k2 = -deltat*(xRK[i-1] + k1/2)
k3 = -deltat*(xRK[i-1] + k2/2)
k4 = -deltat*(xRK[i-1] + k3)
xRK[i] = xRK[i-1] + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6
print (deltat,xE[i],xIE[i],xRK[i])
errorE[j] = np.exp(-1) - xE[n-1]
errorIE[j] = np.exp(-1) - xIE[n-1]
errorRK[j] = np.exp(-1) - xRK[n-1]
Ошибки:
Для delT = 1,0
- Ошибка Эйлера -0,6321205588285577
- I. Ошибка Эйлера -0,6321205588285577
- Ошибка РК: -0,6321205588285577
Для delT = 0,1
- Ошибка Эйлера -0.019541047828557645
- I. Ошибка Эйлера -0.039348166379443716
- Ошибка РК -0,03869055002863331
Для delT = 0,01
- Эйлер -0.0018501964782845493
- I.Euler -0.003703427083890265
- РК -0,0036972498815148747
Для delT = 0,001
- Эйлер -0.0001840470877806366
- I.Euler -0.00036812480143849635
- RK-+0,00036806344222467535
Для delT = 0,0001
- Эйлер -1.839504510836587e-05
- I.Euler -3.67903967520844e-05
- РК -3.678978357835039e-05
Это законно? Если нет, то почему это происходит?