Это можно сделать с помощью git hook.
Предположим, что все ваши файлы следуют шаблону. E.g.:
/**
* Some license information
*
* Last update: Thu, Jun 28, 2018 8:19:47 PM
*/
// Code comes here...
Создайте исполняемый файл файл .git/hooks/pre-commit
с простым сценарием для замены строки «Последнее обновление:»:
#!/bin/sh
d=$(date)
git diff --cached --name-only --diff-filter=ACM | \
xargs sed -i "s/\* Last update:.*/* Last update: $d/"