Как рассчитать временную и пространственную сложность этого решения?

Question

Я решаю эту проблему на leetcode. Не могу понять сложность времени и пространства для моего решения.

В частности, я не могу понять, как применить Основную теорему здесь в случае, когда у нас есть цикл FOR. Что такое а и б здесь? Поскольку ввод делится несколько раз и для разных размеров подзадач. Еще одним осложнением является запоминание.

class Solution {
    private Map<String, List<Integer>> cache = new HashMap<>();
    public List<Integer> diffWaysToCompute(String equation) {
        if (cache.containsKey(equation)) return cache.get(equation);
        if (!(equation.contains("+") || equation.contains("-") || equation.contains("*"))) return Collections.singletonList(Integer.valueOf(equation));
        List<Integer> result =  new ArrayList<>();

        for (int i = 0; i < equation.length();i++) {
            char ch = equation.charAt(i);

            if (ch == '+' || ch == '-' || ch == '*') {
                List<Integer> left = diffWaysToCompute(equation.substring(0, i));
                List<Integer> right = diffWaysToCompute(equation.substring(i+1, equation.length()));

                result.addAll(crossCalc(left, right, ch));
            }
        }

        cache.put(equation, result);

        return result;
    }

    private List<Integer> crossCalc(List<Integer> left, List<Integer> rigth, char sign) {
        List<Integer> result = new ArrayList<>();
        for (Integer l : left) {
            for (Integer r : rigth) {
                if (sign == '-') {
                    result.add(l - r);
                } else if (sign == '+') {
                    result.add(l + r);
                } else {
                    result.add(l*r);
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

Я ищу объяснение, как рассчитать сложность времени, а не только ответ. Желательно, если вы могли бы объяснить сложность как с, так и без памятки Спасибо!

Answer 1

Временная сложность вашего алгоритма равна количеству выражений, содержащих n пар скобок, которые правильно сопоставлены.

Это называется каталонское число , и оно равно C (2 * n, n) / (n + 1) = (2 * n)! / ((n + 1)! * n!).

Также существует рекурсивная формула для вычисления каталонского числа:

f(n+1) = f(0)f(n) + f(1)f(n-1) + f(2)f(n-2) + ... + f(n-2)f(2) + f(n-1)f(1) + f(n)f(0)

И вы знаете, это то же самое, что и ваше уравнение сложности времени алгоритма!

T(n+1) = T(0)T(n) + T(1)T(n-1) + T(2)T(n-2) + ... + T(n-2)T(2) + T(n-1)T(1) + T(n)T(0)

Сложность памяти этого алгоритма может быть такой же, как и сложность его времени, потому что число элементов result ArrayList может быть большим. Так что в худшем случае память и сложность времени будут n-м каталонским числом.

Источник: https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number

Answer 2

T(n) = Sum{T(i) + T(N-i)} for some index i <= 2(T(1) + T(2) + ... + T(n - 1))
=> T(n + 1) - T(n) = 2T(n) => T(n) <= O(3^n) worst case 

где n - число разделенных чисел