Я думаю, что вы должны вызывать его с контроллера, когда открываете / обновляете свою страницу, как
Контроллер:
$to_date = $request->old('to_date');
return Redirect::to('/page')->withInput();
затем попробуйте запустить его снова с вашим видом
<input type= "date" id ="to_date" name="to_date" value="{{Carbon\Carbon::parse(old('to_date'))->format('Y-m-d')}}">
Но, если вы хотите сделать самый простой способ - использовать localalstorage, то сначала сохраните данные в вашем локальном хранилище, прежде чем перезагрузить страницу