Я думаю, что когда расширение включено в режиме инкогнито, оно автоматически получит учетные данные, зарегистрированные в обычном браузере. Вы можете проверить эту ссылку на Как включить и отключить расширения Chrome в режиме инкогнито . Вы также можете проверить эту документацию о том, как использовать incognito ключ манифеста, либо spanning, либо split, чтобы указать как будет работать это расширение, если разрешено работать в режиме инкогнито.