То, как вы это делаете, очень близко к правильности.
Эта ошибка связана с тем, что ваш файл http://mywebsite:3001/socket.io/socket.io.js
загружается неправильно, поэтому переменной io
никогда не назначается библиотека сокета io.
Мне кажется, что вы изменили URL, чтобы не раскрывать свой домен, но я боюсь, что именно в этом проблема.
Убедитесь, что если вы вставите этот URL в браузер, он перенесет вас в файл. Похоже, что URL имеет какой-то неверный формат.