При переходе на страницу html сохраняются, но вызывается рендер React. И вставляет еще одну копию Router. Поэтому в качестве опции вам нужно переместить рендер в другое место.
Это из турболинкса Readme :
Навигация по турболинкам
Turbolinks перехватывает все клики по ссылкам на тот же домен. Когда вы нажимаете подходящую ссылку, Turbolinks запрещает браузеру переходить по ней. Вместо этого Turbolinks изменяет URL-адрес браузера с помощью API History, запрашивает новую страницу с помощью XMLHttpRequest и затем отображает HTML-ответ.
Во время рендеринга Turbolinks заменяет текущий элемент сразу и объединяет содержимое элемента. Окно JavaScript и объекты документа, а также элемент HTML сохраняются от одного рендеринга к следующему.