Попробуйте использовать Flutter_webview_plugin здесь
Вы можете добавить следующие переменные (включая userAgent), как показано в их документации:
Future<Null> launch(String url, {
Map<String, String> headers: null,
bool withJavascript: true,
bool clearCache: false,
bool clearCookies: false,
bool hidden: false,
bool enableAppScheme: true,
Rect rect: null,
**String userAgent: null,**
bool withZoom: false,
bool withLocalStorage: true,
bool withLocalUrl: true,
bool scrollBar: true,
bool supportMultipleWindows: false,
bool appCacheEnabled: false,
bool allowFileURLs: false,
});