Если ваш код не поддерживает, вы всегда можете включить привязку к серверу. Это гарантирует, что запрос будет перенаправлен обратно на тот же сервер. Однако не рекомендуется , вы хотите, чтобы любой сервер отвечал, а не тот, с которого они начали.
Вам не нужно менять свой код, он просто будет работать, а его Azure достаточно умен, чтобы перенаправлять трафик на серверы, поэтому ваш вопрос об асинхронности, да, это сработает на 100%.
Если вы используете информацию о хранилище в файле cookie, она должна работать без привязки к серверу, но если вы используете сеанс, вам, скорее всего, потребуется включить его (в зависимости от того, где хранится сеанс - inproc, sql). Вот статья о близости сервера https://blogs.msdn.microsoft.com/appserviceteam/2016/05/16/disable-session-affinity-cookie-arr-cookie-for-azure-web-apps/
Надеюсь, что поможет