Да, это возможно. Для SSH к Elastic Beanstalk Instance вам нужно будет использовать пары ключей EC2 и настроить группы безопасности, разрешающие SSH-доступ от клиента.
Если вы разместите сервер в частной подсети, вам может потребоваться создать Bastion Host в общедоступной подсети в том же VPC. Затем вы можете использовать SSH для хоста Bastion и SSH для вашего сервера оттуда.