Моделирование структурных уравнений - это метод моделирования ковариационной структуры данных, и поэтому мы можем положиться на несколько правил ковариационной алгебры. Я не буду показывать доказательство / вывод их здесь, но вы можете легко найти их в другом месте онлайн:
1. var(y) = cov(y, y)
2. cov(x, a) = 0, where a is a constant
3. cov(x+w, y+z) = cov(x, y) + cov(x, z) + cov(w, y) + cov(w, z)
4. cov(ax, by) = ab*cov(x, y)
Мы также знаем, что форма уравнения регрессии:
y = bx + e
По вашему вопросу вы хотите выразить var(y) в терминах отклонений ...
Использование правила № 1:
var(y) = cov(y, y)
Но мы также знаем, что y = bx + e, поэтому:
var(y) = cov(bx + e, bx + e)
Мы можем переписать RHS, используя правило № 3:
var(y) = cov(bx, bx) + cov(bx, e) + cov(bx, e) + cov(e, e)
Использование обоих правил # 1 (для последнего срока) и 4 (для первого срока):
var(y) = bb*cov(x, x) + cov(bx, e) + cov(bx, e) + var(e)
Из-за правила # 2, где e - константа, средние члены выпадают. И потому что bb это просто b^2:
var(y) = (b^2)*cov(x, x) + var(e)
Наконец, cov(x, x) это просто var(x) из-за правила # 1, и вы получите то, что есть в вашей книге:
var(y) = (b^2)*var(x) + var(e)