В laravel MethodNotAllowedHttpException
появляется, когда вы ссылаетесь на недоступный маршрут или его тип не соответствует. В вашем случае проблема такая же, и это:
return redirect('/input');
&
Route::post('/input', 'TicketController@store');
в первый раз, когда вы публикуете в тот момент, когда метод маршрута соответствует, но во время перенаправления он ищет:
Route::get('/input', 'TicketController@store');
которого нет, поэтому ошибка.