Код не прослушивает ответы до тех пор, пока он не перейдет по URL, page.on('request', res => console.log(res));
должен быть установлен до того, как перейдет по URL.
const page = await browser.newPage();
page.on('request', res => console.log(res));
page = await openPage(page, url); // <-- pass in page here instead of browser
// because page is now defined
Если в приведенном выше коде нет пропусков, он также не успевает просмотреть запрос до закрытия браузера.
await page.goto(url, {waitUntil: 'load'});
Или, если есть другие запросы, которые завершаются после запуска события load, вам нужно найти другой способ ожидания ответов.