Вы можете использовать метод $ push, так как вы пытаетесь обновить элемент массива
app.patch('/annualBudgets/:year' , (req, res) => {
Budgets.update({year: parseInt(req.body.year)}, {'$push' : {categories : {
name : req.body.name,
amount : req.body.amount
}}}, function(err, docs) {
if (err) {
throw err
}
res.send(docs).status(200);
})
})