Это особенность самого Notepad. Это не то, что происходит автоматически, когда файл записывается из чего-либо еще.
Вам нужно добавить метку времени самостоятельно. Я бы предложил использовать File.AppendAllLines
, а не читать весь файл, а затем переписать его. Например:
string[] lines =
{
// Short date/time pattern in system culture, using system time zone
DateTime.Now.ToString("g"),
"First new line",
"Second new line"
};
File.AppendAllLines("log.txt", lines);