Вы не можете удалить из наблюдаемой. Он не имеет буфера и не отслеживает, какие элементы были отправлены после отправки.
Вы можете использовать массив, и тот факт, что угловое обнаружение изменений при назначении:
countries = []
OnInit
this.areasService.getCountries().subscribe( val=> this.countries =val);
html
*ngFor="let c of countries; let i=index"
Важно
при соединении следует переназначить this.countries, чтобы активировать обнаружение изменений.
deleteEl(pos){
this.countries.splice(pos, 1);
this.countries = [...this.countries];
}