Это невозможно. Как почтовый провайдер должен знать, куда отправлять электронные письма, если нет обратного адреса?
Что-то, что вы могли бы сделать, как предлагается в комментариях, - это иметь адреса электронной почты пользователей на вашем сервере и анонимизировать, а затем пересылать поступающие туда сообщения. Не совсем тривиальная задача.