Вы можете сохранить переменную на самом фоне.
let tabsVisited = {};
browser.webRequest.onBeforeRequest.addListener(
(request) => {
if(!(request.tabId in tabsVisited)){
execMyScript(request);
tabsVisited[request.tabId] = true;
}
}, {urls: ['http://*/*']},["blocking"]
);
но tabsVisited
будет только увеличиваться. вам нужно найти место в вашем скрипте до delete tabsVisited[request.tabId]
, когда вы закончите. возможно, когда пользователь закрывает вкладку.