Я не слишком разбираюсь в MathJax, но добавление следующей строки работает на скрипке.
MathJax.Hub.Queue(["Typeset",MathJax.Hub,this.formula]);
Сразу после указанной вами строки:
stdev1=0.2;
stdev2=0.05;
updatecalcs();
function updatecalcs(){
stdev1=parseFloat(document.getElementById("stdev1in").value);
stdev2=parseFloat(document.getElementById("stdev2in").value);
document.getElementById("sumstdeveq").innerHTML="$$ \\sqrt{("+stdev1+")^2+("+stdev2+")^2} $$";
MathJax.Hub.Queue(["Typeset",MathJax.Hub,this.formula]);
}