втягиваться в абстрактную категорию.

Question

Предположим, у меня есть категория $ C $ и морфизм $ f: a \ rightarrow b $ в этой категории. Предположим, что индуцированное отображение $ f ^ {\ ast}: Hom_ {C} (a, a) \ rightarrow Hom_ {C} (b, a) $ индуцирует биекцию множеств. Правда ли, что существует морфизм $ g: b \ rightarrow a $ такой, что $ g \ circ f = id_ {a} $?

Answer 1

Во-первых, я думаю, что у вас есть ошибка, и Hom (b, a) должен быть Hom (a, b).

Если вы это имели в виду, то ответ - нет.

Для простого примера возьмем категорию с двумя объектами a,b и одной неидентичной стрелкой f : a -> b. Тогда Hom(a,a) = {id_a} и Hom(a,b) = {f} и f действительно вызывают биекцию по композиции g |-> f o g.

Это похоже на некоторые основные факты в топологии, например, не каждая сюръективная непрерывная функция имеет непрерывную обратную.

Однако, если вы попросите f дать не просто биекцию на Hom(a,a) -> Hom(a,b), а вместо этого сделать биекцию Hom(c,a) -> Hom(c,b) для каждые c, естественно, тогда вы получите обратное морфизм, как следствие леммы Йонеды и того факта, что естественное преобразование имеет естественное обратное, если каждый из его компонентов имеет обратное.