Нет необходимости делать это в Laravel вообще ... Код Laravel / PHP запускается на стороне сервера. Код Laravel просто отображает HTML и JavaScript в браузере, чтобы заставить работать fullCalendar. Поэтому вы можете сделать это полностью на стороне клиента, используя JavaScript, и не обращать внимания на часть Laravel. Единственное, что вам нужно отметить в своем PHP-коде, - это идентификатор, который вы даете календарю - замените calendar
идентификатор в моем коде ниже на идентификатор, который вы использовали.
HTML:
Date: <input type="date" id="dateField"/>
<button type="button" id="dateBtn">Go to date</button>
JavaScript:
$("#dateBtn").click(function(){
$("#calendar").fullCalendar("gotoDate", $("#dateField").val());
});
См. http://jsfiddle.net/sbxpv25p/826/ для рабочего демо.