Как сказал @elgonzo - я добавил заголовок accept-encoding, и он заработал! Кстати, было также необходимо изменить кодировку на UTF8. Наконец, мой код выглядит так:
WebClient client = new WebClient();
client.Headers[HttpRequestHeader.AcceptLanguage] = "es-ES";
client.Headers[HttpRequestHeader.UserAgent] = "Accept-Encoding";
client.Encoding = Encoding.UTF8;
Я преобразовал в System.Net.WebClient
, как мне показалось проще. Спасибо, @elgonzo!