Вы можете отключить eslint для указанной строки, как это
// eslint-disable-next-line THE-RULE-HERE
<img
styleName="pic-id-code"
src={picCodeImgSrc}
alt="pic id code"
onClick={this.refreshPicCodeImg}
onKeyPress={this.handleKeyPress}
role="button"
tabIndex="0"
/>
Не уверен, что именно ваше правило, но попробуйте это
// eslint-disable-next-line jsx-a11y/no-noninteractive-element-interactions
или
// eslint-disable-next-line no-noninteractive-element-interactions
Обновление после комментария OP
... но не работает в ответ JSX
Попробуйте это
<img
styleName="pic-id-code"
src={picCodeImgSrc}
alt="pic id code"
// eslint-disable-next-line jsx-a11y/no-noninteractive-element-interactions
onClick={this.refreshPicCodeImg}
// eslint-disable-next-line jsx-a11y/no-noninteractive-element-interactions
onKeyPress={this.handleKeyPress}
// eslint-disable-next-line jsx-a11y/no-noninteractive-element-interactions
role="button"
tabIndex="0"
/>
onClick
и oneKeyPress
на img также будут вызывать предупреждения.