Ваши даты выглядят нормально, они в формате sql.
Отсутствующая точка с запятой. Я полагаю, что это просто «ошибка» при копировании, иначе вы получите ошибку.
$userDetails = DB::select("SELECT * from users where created_at >={$beginTimeStamp} AND created_at <= {$endTimeStamp}");
Попробуйте этот запрос. Я думаю, что ошибка возникает из-за того, что вы пытаетесь объединить переменные с запросом и что вы не заключаете свой запрос в двойные кавычки.
Этот запрос также должен работать:
$userDetails = DB::select("SELECT * from users where created_at >='$beginTimeStamp' AND t1.created_at <= '$endTimeStamp'");
Весь запрос заключен в двойные кавычки, а переменные заключены в одинарные кавычки.