Попробуйте изменить цвет фона флажка
<View style={{ backgroundColor:this.state.checked? 'red':'white'}}>
<CheckBox value={this.state.checked} this.setState({ checked: !this.state.checked }) />
</View>
Попробуйте изменить исходный код изменения
<CheckBox
android:layout_width="wrap_content"
android:layout_height="wrap_content"
android:buttonTint="@color/CHECK_COLOR" />
для более старых уровней API v7:
<android.support.v7.widget.AppCompatCheckBox
android:layout_width="wrap_content"
android:layout_height="wrap_content"
app:buttonTint="@color/COLOR_HERE" />