Единицы преобразования Фурье (БПФ) при спектральном анализе сигнала

Question

Мой вопрос связан с физическим смыслом результатов проведения спектрального анализа сигнала или выброса сигнала в БПФ и интерпретации того, что получается с использованием подходящего числового пакета,

В частности:

• принять сигнал, скажем, изменяющееся во времени напряжение v (t)
• бросить его в БПФ (вы получите последовательность комплексных чисел)
• Теперь возьмите модуль (abs) и возведите в квадрат результат, т.е. | fft (v) | ^ 2.

Итак, теперь у вас есть действительные числа на оси у - я назову эти спектральные коэффициенты?

• используя разрешение выборки, вы следуете рецепту поваренной книги и сопоставляете спектральные коэффициенты с частотами.
• В ЭТОЙ ТОЧКЕ у вас есть частотный спектр g (w) с частотой на оси x, , но КАКИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ЕДИНИЦЫ на оси y?

Насколько я понимаю, этот частотный спектр показывает, сколько различных частот присутствует в сигнале напряжения - они являются спектральными коэффициентами в том смысле, что они являются коэффициентами синусов и косинусов различных частот, необходимых для восстановления оригинальный сигнал.

Итак, первый вопрос: Каковы ЕДИНИЦЫ этих спектральных коэффициентов?

Причина, по которой это имеет значение, заключается в том, что спектральные коэффициенты могут быть крошечными и огромными, поэтому я хочу использовать шкалу дБ для их представления.

Но для этого мне нужно сделать выбор:

• Либо я использую преобразование 20log10 дБ, соответствующее измерению поля, например, напряжение.
• Или я использую преобразование 10log10 дБ, соответствующее измерению энергии, например, мощности.

Какое масштабирование я использую, зависит от того, какие единицы измерения.

Любой свет, пролитый на это, был бы очень признателен!

Answer 1

принять сигнал, изменяющееся во времени напряжение v (t)

Единицы В , значения действительные.

бросить его в БПФ - хорошо, вы получите последовательность комплексных чисел

единицы по-прежнему V , значения комплексные (не В / Гц - БПФ сигнал постоянного тока становится точкой на уровне постоянного тока, а не дельта-функцией Дирака, уменьшающей масштаб до бесконечность)

теперь возьмите модуль (абс)

единицы все еще V , значения действительны - величина компонентов сигнала

и возведите в квадрат результат, т.е. | fft (v) | ^ 2

единиц теперь V ² , значения действительные - квадрат величин компонентов сигнала

я назову эти спектральные коэффициенты?

Это ближе к плотности мощности, чем к обычному использованию спектрального коэффициента. Если ваш приемник является идеальным резистором, это будет питание, но если ваш приемник зависит от частоты, это «квадрат величины БПФ входного напряжения».

В ЭТОЙ ТОЧКЕ у вас есть частотный спектр g (w): частота на оси x и ... КАКИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ЕДИНИЦЫ на оси y?

Единицы: V ²

Другая причина, по которой единицы измерения имеют значение, заключается в том, что спектральные коэффициенты могут быть крошечными и огромными, поэтому я хочу использовать шкалу дБ для их представления. Но чтобы сделать это, я должен сделать выбор: использовать ли преобразование 20log10 дБ (соответствующее измерению поля, например, напряжению)? Или я использую преобразование 10log10 дБ (соответствующее измерению энергии, например мощности)?

Вы уже возвели в квадрат значения напряжения, выдавая эквивалентную мощность в идеальный резистор на 1 Ом, поэтому используйте 10log10.

log (x ² ) is 2 log (x) , поэтому 20log10 | fft (v) | = 10log10 (| fft (v) | ² ) , поэтому в качестве альтернативы, если вы не возвели в квадрат значения, вы можете использовать 20log10.

Answer 2

Ось у является сложной (в отличие от реальной). Величина - это амплитуда исходного сигнала в любых единицах измерения, в которых находились исходные сэмплы. Угол - это фаза этого частотного компонента.

Answer 3

Вот что я смог придумать до сих пор:

По-видимому, ось Y находится в единицах [Энергия / Гц]!?

Вот как я получаю это (обратная связь приветствуется!):

1. сигнал v (t) в вольтах

2. поэтому после взятия интеграла Фурье: интеграл e ^ iwt v (t) dt у нас должны быть единицы [вольт * секунд] или [вольт / Гц] (e ^ iwt не имеет единиц измерения)

3. принимая квадрат величины, следует дать единицы [вольт ^ 2 * с ^ 2] или [v ^ 2 * с / Гц]

4. мы знаем, что мощность пропорциональна вольтам ^ 2, поэтому мы получаем [мощность * с / Гц]

5. но Power - это скорость изменения энергии во времени, то есть power = energy / s, поэтому мы также можем записать Energy = power * s

6. это оставляет нас с выводом кандидата [Энергия / Гц]. (Джоуль / Гц?!)

..., который предлагает значение "Содержание энергии на Гц", и предлагает в качестве использования объединение полос частот и просмотр содержания энергии ... что было бы очень хорошо, если бы это было правдой ...

Продолжая ... если предположить, что вышеприведенное верно, то мы имеем дело с измерением энергии, поэтому для преобразования в шкалу дБ предлагается использовать преобразование 10log10 вместо 20log10 ...

...

Answer 4

Ну, поздний ответ я знаю. Но у меня просто была причина сделать что-то подобное в другом контексте. Мои необработанные данные были значениями задержки для транзакций против единицы хранения - я пересчитал их с интервалом в 1 мс. Таким образом, исходные данные были «задержка в микросекундах». У меня было 2 ^ 18 = 262144 исходных точек данных с шагом 1 мс.

После того, как я сделал БПФ, я получил 0-й компонент (DC), который выдержал следующее:

FFT [0] = 262144 * (среднее всех входных данных).

Так что мне кажется, что FFT [0] - это N * (среднее из входных данных). Такой вид имеет смысл - каждая отдельная точка данных обладает средним значением DC как частью того, что есть, поэтому вы добавляете их все.

Если вы посмотрите на определение БПФ, это тоже имеет смысл. Все остальные компоненты также включают в себя термины синус и косинус, но на самом деле БПФ - это просто сумма. Среднее значение является единственным, которое присутствует во всех точках одинаково, потому что у вас есть cos (0) = 1.

Answer 5

Мощность на резисторе v^2/R Вт. Мощность сигнала x(t) является абстракцией мощности в резисторе 1 Ohm. Следовательно, мощность сигнала x(t) равна x^2 (также называемая мгновенной мощностью), независимо от физических единиц x(t).

Например, если x(t) - это температура, а единицы x(t) - это градусы C, то единицы для мощности x^2 из x(t) равны C^2, определенно не Вт.

Если вы берете преобразование Фурье x(t), чтобы получить X(jw), то единицы X(jw) равны C*sec или C/Hz (согласно интегралу преобразования Фурье). Если вы используете (abs(X(jw)))^2, то единицы измерения C^2*sec^2=C^2*sec/Hz. Поскольку единицы мощности C^2, а единицы энергии C^2*sec, то abs(X(jw)))^2 дает спектральную плотность энергии, скажем E/Hz. Это согласуется с теоремой Парсеваля, где энергия x(t) задается в (1/2*pi) раз интегралом от abs(X(jw)))^2 относительно w, т.е. (1/2*pi)*int(abs(X(jw)))^2*dw) > (1/2*pi)*(C^2*sec^2)*2*pi*Hz > (1/2*pi)*(C^2*sec/Hz)*2*pi*Hz > E.

Преобразование в шкалу дБ (логарифмическая шкала) не изменяет единицы измерения.

Если вы берете БПФ выборок x(t), записанное как x(n), чтобы получить X(k), то результат X(k) является оценкой коэффициентов ряда Фурье периодической функции, где один период T0 секунд - это сегмент x(t), который был выбран. Если единицы измерения x(t) являются градусами C, то единицы измерения X(k) также являются градусами C. Единицами abs(X(k))^2 являются C^2, которые являются единицами мощности. Таким образом, график зависимости abs(X(k))^2 от частоты показывает спектр мощности (не спектральной плотности мощности) x(n), который является оценкой мощности набора частотных составляющих x(t) на частотах k/T0 Hz.